ራስል ፓራዶክስ: መሰረታዊ መረጃ, ምሳሌዎች, ቀመር

ራስል ፓራዶክስ ሁለት ተደጋግፈው ምክንያታዊ antinomy ነው.

ራስል ፓራዶክስ ሁለት ቅጾች

አመክንዮ ስብስብ ውስጥ የሚጋጩ በጣም በተደጋጋሚ ውይይት ቅጽ. ስብስብ አንዳንድ አባላት ራሳቸውን, እና ሌሎች ይመስላል - ምንም. ሁሉንም ስብስብ ስብስብ ስብስብ ራሱ ነው, ስለዚህ ይህ በራሱ የሚያመለክት ይመስላል. አልቦ ወይም ባዶ, ይሁን እንጂ, በራሱ አባል መሆን የለበትም. ስለዚህ, ዜሮ ሁሉ ስብስቦች ስብስብ, በራሱ ወደ አልተካተተም. አያዎ ሲነሳ በራሱ አንድ አባል አለመሆኑን ስብስብ ጥያቄ. እና ሳይሆን ብቻ ከሆነ ከሆነ ይህ የሚቻል ነው.

ሌላው ቅጽ ፓራዶክስ ባህሪያት በተመለከተ ተቃርኖ ነው. ሌሎች አይደሉም ሳሉ አንዳንድ ንብረቶች, ራሳቸውን የሚያመለክት ይመስላል. ንብረት ያለ ድመት አይደለም ሊሆን ሳለ ንብረት, ራሱ ንብረት ነው ንብረት መሆን. የእሱ አይደለም አንድ ንብረት ያላቸው ንብረቶች እንመልከት. ይህ በራሱ የሚመለከት ቢሆንስ? እንደገናም, ግምታዊ ማናቸውም ተቃራኒ መሆን አለበት. አያዎ 1901 ላይ የተገኘው ማን በርትራንድ ራስል (1872-1970), ክብር የሚባል ነበር.

ታሪክ

በመክፈት ላይ ራስል "የሂሳብ መርሆች" ላይ ሥራውን ወቅት ተከስቷል. እሱ በግሉ ያለውን አያዎ ግኝት ቢሆንም, ሌሎች የሒሳብ እና ኧርነስት Zermelo ጨምሮ ስብስብ ንድፈ ሐሳብ, ስለ ገንቢዎች መሆኑን ማስረጃ የለም ዳዊት Hilbert, ከእርሱ በፊት ቅራኔዎች የመጀመሪያ ስሪት ያውቅ ነበር. ራስል, ይሁን እንጂ, መጀመሪያ መፍትሔ በመንደፍ ለማድረግ የሞከሩ ሲሆን ሙሉ በሙሉ ትርጉሙን አድናቆት የመጀመሪያው, የእርሱ የታተሙ ስራዎች ውስጥ በዝርዝር ውስጥ ያለውን አያዎ ተብራርቷል ማን የመጀመሪያው ነበር. "መሠረታዊ" አንድ ሙሉ ምዕራፍ በዚህ እትም ውይይት የተለየውን ነበር, እና ማመልከቻ ራስል መፍትሔ አድርጎ ሐሳብ ይህም ዓይነት ንድፈ ሐሳብ, ያደረ ነበር.

ራስል ማንኛውም ስብስብ ኃይል በውስጡ ታህታይ ስብስብ ያነሰ ነው ይላል መሆኑን Cantor ያለው ስብስብ ንድፈ ከግምት, ውሸታም ያለውን 'ፓራዶክስ' አግኝተዋል. ውስጥ ንጥረ አሉ ለእያንዳንዱ አባል አንድ ስብስብ ብቻ ነው ይህ ኤለመንት የያዘ ከተዋቀረ ጎራ ውስጥ ቢያንስ, እንደ ብዙ ታህታይ ስብስብ መሆን አለበት. ከዚህም Cantor ንጥረ ቁጥር ታህታይ ቁጥር ጋር እኩል ሊሆን አይችልም መሆኑን አረጋግጧል. ተመሳሳይ ቁጥር ነበሩ ከሆነ ያላቸውን ታህታይ ላይ ክፍሎችን ለማሳየት ነበር ƒ ባህሪ መኖር አለብን ነበር. በተመሳሳይ ጊዜ ይህ የማይቻል መሆኑን ያረጋግጣል ይቻላል. ሌሎች ደግሞ ያልሆኑ ይኖራሉ ሳለ አንዳንድ ንጥሎች, እነሱን የያዙ ተግባር ƒ ታህታይ ላይ ሊታዩ ይችላሉ.

እነርሱ ƒ በሚያሳዩ ውስጥ ያላቸውን ምስሎች, የእሱ ያልሆነውን እንደሆነ ንጥረ ነገሮች ስብስብ እንመልከት. ይህ አባሎችን ታህታይ ራሱ ነው, እና ስለዚህ, ƒ ተግባር ጎራ ውስጥ አንድ አባል ላይ ማሳየት ነበር. ችግሩ ከዚያም ጥያቄ ይህ ኤለመንት ይህ ƒ የሚያሳይ ወደ ታህታይ ንብረት እንደሆነ እንደ ቢነሳ መሆኑን ነው. ይህ አካል አይደለም ከሆነ ይህ ብቻ ሊሆን ነው. ራስል ፓራዶክስ አሳማኝ ተመሳሳይ መስመር ምሳሌ ሆኖ ሊታይ ይችላል, ብቻ ቀለል. ወደ ስብስብ ስብስቦች ወይም ታህታይ - ተጨማሪ ምንድን ነው? ይህ ስብስቦች ራሳቸውን ሁሉ ታህታይ እንደ ተጨማሪ ስብስቦች አሉ መሆን እንዳለበት ይመስላል ነበር. Cantor ያለው እርጉጥ እውነት ከሆነ ግን, ከዚያ ተጨማሪ ታህታይ አሉ መሆን አለበት. ራስል በቀላሉ ይታዩ በራሳቸው ላይ ስብስቦች ማሳየት እነርሱም የሚታዩት ውስጥ ስብስብ ውጪ ሁሉ ከእነዚህ አባሎች, ስብስብ ከግምት kantoriansky አቀራረብ ተተግብሯል. በማሳየት ላይ ራስል ሁሉንም ስብስቦች, ያልሆነ ስብስብ ይሆናል.

ስህተት Frege

"ውሸታም ያለውን አያዎ" ስብስቦች ጽንሰ ሐሳብ ታሪካዊ እድገት ላይ ከፍተኛ ለውጥ አምጥቷል. እርሱ አለም አቀፍ ስብስብ ጽንሰ ከፍተኛ ችግር መሆኑን አሳይቷል. በተጨማሪም እያንዳንዱ የተገለጹ ሁኔታ ወይም ተሳቢው ይህን ሁኔታ ለማርካት ብቻ እነዚህ ነገሮች የብዙ መኖሩን መገመት ይቻላል የሚለውን ሐሳብ ጠየቀው. ወደ ስሪት ስብስቦችን ወደ ተፈጥሯዊ ቅጥያ - - ስለ ንብረቶች በተመለከተ አማራጭ ፓራዶክስ አንድ ንብረት ያለውን ዓላማ መኖሩን ወይም ሁኔታ, ወይም ተሳቢው የሚወሰነው በእያንዳንዱ ወደ ሁለንተናዊ በማክበር ስለ መከራከር ይቻላል አለመሆኑን ዘንድ እንደ ከባድ ጥርጣሬ አስነስቷል.

ተመሳሳይ ታሳቢዎች ያደረጉ በቅርቡ logicians ሥራ ውስጥ ቅራኔዎች እና ችግሮች አልተገኙም, ፈላስፋዎችና እንዲሁም የሒሳብ. መጀመሪያ XX ክፍለ ዘመን - በ 1902, ራስል ፓራዶክስ አንድ ተለዋጭ አንድ ምክንያታዊ ሥርዓት ውስጥ የተገለጸው Gottlob Frege በአምላክ "በስነ መሠረት" ጥራዝ እኔ መገባደጃ በጊዜም ያለውን አመክንዮ ላይ ዋና ዋና ሥራዎች መካከል አንዱ ውስጥ ሊዳብር ይችላል እንደሆነ አገኘ. Frege ፍልስፍና ውስጥ ብዙ የሆነ "ቅጥያ" ወይም "ዋጋ-ክልል" ጽንሰ-ሐሳብ እንደ መረዳት. የ ፅንሰ correlates ሰዎች ወደ ቅርብ ናቸው. እነዚህ በማንኛውም ሁኔታ ወይም ተሳቢው ለማግኘት መኖር ይጠበቅባቸዋል. በመሆኑም, በውስጡ ተዘግቦ ጽንሰ ስር ይወድቃሉ አይደለም ይህም ስብስብ, አንድ ጽንሰ-ሐሳብ ነው. የለም በዚህ ጽንሰ በተወሰነው ክፍል ደግሞ ነው; እንዲሁም ይህ ነው ብቻ ከሆነ በውስጡ ጽንሰ በመግለጽ ተገዢ ነው.

ራስል የደብዳቤ በጣም አስደሳች መካከል አንዱ ነበር ሰኔ 1902 ውስጥ, ይህ ግጭት ስለ Frege ወደ ጽፎ ሎጂክ ታሪክ ውስጥ ስለ ተነጋገረ. Frege ወዲያውኑ ፓራዶክስ ያለውን አስከፊ መዘዝ ተገንዝቦ ነበር. እሱም ፍልስፍና ውስጥ ንብረቶችን በተመለከተ ውዝግብ ስሪት ደረጃዎች መካከል ያለውን ፅንሰ የመለየት በማድረግ መፍትሄ ነበር, ይሁን እንጂ, ገልጸዋል.

Frege ያለው አመለካከት TRUE ወደ ተግባር የመከራከሪያ ጀምሮ ሽግግር እንደ መረዳት. የ ጽንሰ የመጀመሪያ ደረጃ ሁለተኛ ደረጃ ጽንሰ መካከል ነገሮች በጣም ላይ እነዚህን ተግባራት ወደ ጭቅጭቅ, እና እንደ መውሰድ እሴቶች እንደ መውሰድ. በመሆኑም ጽንሰ ክርክር እራሱን እንደ መውሰድ ፈጽሞ አይችልም, እና ንብረቶች አንፃር አያዎ በመንደፍ አይችልም. ይሁን ስብስቦች, ማስፋፊያ ወይም ጽንሰ Frege ሌሎች ነገሮች መካከል እንደ ተመሳሳይ ሎጂካዊ ዓይነት የሚያመለክት ሆኖ መረዳት. ከዚያም እያንዳንዱ ስብስብ ለማግኘት በላዩ በመግለጽ ጽንሰ-ሐሳብ ሥር የሚወድቅ እንደሆነ አንድ ጥያቄ አለ.

Frege, ራስል የመጀመሪያው ደብዳቤ, "በስነ መሠረት" ሁለተኛ መጠን የተቀበለው ጊዜ አስቀድሞ የህትመት ተጠናቅቋል. እሱም በፍጥነት ራስል ያለውን አያዎ መልስ የሚሰጥ አንድ መተግበሪያ ለማዘጋጀት ተገደደ. ምሳሌዎች Frege በተቻለ መፍትሄ በርካታ ይዟል. ነገር ግን ምክንያታዊ ሥርዓት ውስጥ የአብስትራክት ስብስብ ጽንሰ ለማዳከም ድምዳሜ ላይ ደረስኩ.

የመጀመሪያው ውስጥ, ነገሩ ጽንሰ ውስጥ የሚወድቅ ከሆነ ብቻ ነው, ይህም የሚወስን ከሆነ ነገር ስብስብ ንብረት እንደሆነ መደምደም ይቻላል ነበር. የተከለሰው ሥርዓት ብቻ አንድ የብዙ በመግለጽ ያለውን አመለካከት ውስጥ የሚወድቅ, ነገር ግን ጥያቄ ውስጥ እንዳልተዋቀረ እና ከሆነ ብቻ ከሆነ ነገር ስብስብ ንብረት ብለን መደምደም እንችላለን. ራስል ፓራዶክስ ይነሳል.

መፍትሄው, ይሁን እንጂ, Frege ጋር ሙሉ በሙሉ አይጠግብም አይደለም. በዚህ ምክንያት ነበር. ከተወሰኑ ዓመታት በኋላ ግን ወደ መቃረን ይበልጥ ውስብስብ መልክ ተሻሽሎ ሥርዓት አልተገኘም ተደርጓል. ይህ ተከሰተ እንኳን በፊት ግን, Frege የእርሱ ውሳኔ እርግፍ እና አቀራረብ በቀላሉ unworkable ነበር የሚል መደምደሚያ ላይ ደርሻለሁ ይመስላል, እና ሎጂክ ወደ ስብስቦችን ማንኛውም ያለ ማድረግ ይሆናል.

አሁንም ሌሎች ደግሞ, በአንጻራዊ ሁኔታ የበለጠ ስኬታማ አማራጭ መፍትሔ ሐሳብ ቆይተዋል. እነዚህም ከዚህ በታች ተብራርተዋል.

አይነቶች ንድፈ ሐሳብ

ይህ Frege ወደ መምታትን በቂ ምላሽ ነበር ከላይ ይህም እንደተገለጸው ነበር ስብስብ ንድፈ ንብረቶች በመንደፍ ስሪት ውስጥ. Frege ምላሽ አያዎ ይህን ቅጽ በጣም በተደጋጋሚ ውይይት መፍትሔ መቀደም ነበር. ይህ ንብረቶች የተለያዩ ዓይነቶች ተገዢ ናቸው እና ንብረት ምን አይነት እንደሆነ ያመለክታል ይህም ወደ ንጥሎች ተመሳሳይ ፈጽሞ መሆኑን እውነታ ላይ የተመሠረተ ነው.

በመሆኑም እንኳ ጥያቄ መነሳቱ, ንብረት በራሱ ላይ ተፈፃሚነት ነው አለመሆኑን. አይነቶች ንድፈ ሐሳብ በመጠቀም, እንዲህ ያለ ተዋረድ ውስጥ ክፍሎችን በመለየት ይህም ምክንያታዊ ቋንቋ,. ቀደም Frege, ለመጀመሪያ ጊዜ ጥቅም ላይ ቢሆንም ሙሉ ማብራሪያ እና "መርህ" ወደ አባሪ ውስጥ ራስል የተደገፈ ነው. አይነቶች ንድፈ Frege ደረጃዎች መካከል ያለውን ልዩነት ይልቅ ሙሉ ነበር. እሷ ንብረቶች የተለያዩ ሎጂክ አይነቶች: ነገር ግን ደግሞ ካልተዋቀረ ብቻ ናቸው አጋርተዋል. ራስል እንደሚከተለው ያለውን አያዎ ውስጥ ያለውን ቅራኔ ለመፍታት ንድፈ ይተይቡ.

አንድ philosophically በቂ ለመሆን, ንብረቶች ዓይነቶች ጽንሰ ሐሳብ ልጅነትና እነርሱ ራሳቸው ሊተገበር አይችልም ለምን እንደሆነ ማብራራት ይችል ዘንድ ያለውን ንብረቶች ተፈጥሮ ንድፈ ሐሳብ ያለውን ልማት ይጠይቃል. መጀመሪያ በጨረፍታ, ይህም የራሳቸውን ንብረት ተሳቢ ዘንድ ትርጉም ይሰጣል. ራስን ማንነት መሆን ንብረት, ይህ ደግሞ በራስ-ማንነት ነው, ሊመስል ነበር. ንብረት ጥሩ አስደሳች ይመስላል. በተመሳሳይ መንገድ, ይመስላል, አንድ ድመት መሆን ንብረት የሆነ ድመት ነው ማለት የሐሰት ይመስላል.

ያም ሆኖ, የተለያዩ ፈላስፎች የተለያዩ ዓይነቶች መካከል ክፍፍል ይጸድቃሉ. ራስል እንኳ የሙያ ውስጥ በተለያዩ ጊዜያት የተለያዩ ማብራሪያ ሰጥቷል. በበኩሉ ያህል, Frege ደረጃዎች የተለያዩ ጽንሰ መካከል መለያየት ለ ያለውን ምክንያት unsaturated ጽንሰ ጽንሰ የሚመጣው. ተግባር እንደ ጽንሰ, በመሠረተ ሐሳቡ, ያልተሟሉ ናቸው. ዋጋ ለማቅረብ, እነርሱ ክርክር ያስፈልጋቸዋል. አሁንም በራሱ ክርክር የሚጠይቅ ስለሆነ, ተመሳሳይ አይነት ጽንሰ ተሳቢው ዘንድ ብቻ ሳይሆን አንድ ጽንሰ ይችላሉ. ይህ የአንድ ቁጥር ካሬ ሥር ያለውን ካሬ ሥር መውሰድ የሚቻል ቢሆንም ለምሳሌ ያህል, አንተ ብቻ ካሬ ሥር ተግባር አንድ ካሬ ስርወ ተግባር ለመጠቀም እና ውጤት ማግኘት አይችሉም.

conservatism ንብረቶች ስለ

ሌላው መፍትሔ ሊሆን በማንኛውም ሁኔታ, ወይም በደንብ የተሰራ ተሳቢው በታች ያለውን አያዎ ንብረቶች አሉታ ንብረት መኖሩን ነው. አንድ ሰው በአጠቃላይ ሁለቱም ዓላማ ገለልተኛ አባሎችን የሚቃረኑ ንብረቶች eschews ከሆነ እኛ nominalism ፓራዶክስ መውሰድ ከሆነ እርግጥ ነው, ሙሉ በሙሉ ማስቀረት ይቻላል.

ይሁን እንጂ, ወደ antinomy ለመፍታት በጣም ከፍተኛ መሆን አያስፈልገውም. አመክንዮ ከፍተኛ ትዕዛዝ ሥርዓቶች የትኞቹ መሠረት,, Frege እና ራስል የተገነባ ፅንሰ መሠረታዊ የሚባለው ነገር የያዙ እያንዳንዱን ክፍት ቀመሮችን ምንም ይሁን ለምሳሌ አንድ ንብረት ወይም ጽንሰ-ቀመር ጋር የሚዛመዱ, ሰዎች ብቻ ንጥሎች አካል ሆኖ መኖሩን እንዴት ውስብስብ ነው. እነሱ ምንም እነርሱ ነበሩ ያህል ውስብስብ ሁኔታዎች ወይም ተሳቢዎቹ, እያንዳንዱን በተቻለ ስብስብ ባህሪያት ላይ ተተግብሯል.

ያም ቢሆን እንዲህ እንዲህ ላይ ቀይ ቀለም, ጥብቅ, ደግነት እና እንደ ለምሳሌ ያህል, ጨምሮ, ቀላል ንብረቶች ዓላማ መኖሩን መብት በመስጠት, ይበልጥ ጥብቅ ሥራዎቹም ባህሪያት መውሰድ ይቻላል ነበር. መ እንኳን እነዚህ ንብረቶች እንደ ደግነት, ራሳቸውን ተግባራዊ ይሁን ይችላሉ ይችላል ደግ መሆን.

እና ውስብስብ መገለጫዎች ተመሳሳይ ሁኔታ ለምሳሌ ያህል, ሰባት-ራሶች ነበሩት ያሉ "ንብረቶችን", ሥር-ውሃ-ይጻፍ እና የመሳሰሉት. መ በዚህ ሁኔታ, ንብረት አያሟላም የሚሞቱበት ሁኔታ, እንደ ለብቻው መረዳት, ሊከለከል ይችላል የራሱ ንብረቶች ያለው ኤለመንት ነባር. በመሆኑም አንድ ቀላል ንብረቶች ሕልውና መካድ ይችላል መሆን-ንብረት-እንደሆነ-ያልሆኑ-ወደ-ራስን ተግባራዊ እና ተጨማሪ ወግ አጥባቂ የሚቃረኑ ንብረቶች ተግባራዊ በማድረግ ፓራዶክስ መቆጠብ.

ራስል ፓራዶክስ: መፍትሔ

ይህ በሕይወቱ መጨረሻ ላይ Frege ሙሉ ስብስቦች መካከል ሎጂክ ትተው መሆኑን ገልጸዋል ነበር በላይ. ስብስቦች መልክ ውስጥ antinomy ይህ እርግጥ ነው, አንድ መፍትሄ: መላው ያሉ ንጥረ ነገሮች ሕልውና አንድ ቀላል መከልከል. በተጨማሪ, ሌሎች ታዋቂ ምርጫዎች መሠረታዊ ይህም ከዚህ በታች አይታዩም, አሉ.

ብዙ አይነት ጽንሰ

ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው, ራስል የተለያዩ ዓይነቶች ወደ ንብረቶች ወይም ፅንሰ ብቻ ማጋራት የሚፈልጉ አይነቶች, ይበልጥ የተሟላ ጽንሰ ሐሳብ መጫወት, ነገር ግን ደግሞ ተዘጋጅቷል. ራስል የተለያዩ ክፍሎች አንድ የብዙ ላይ የተጋራ ስብስብ, ወዘተ የተለያዩ ቁሳቁሶችን, ስብስቦች አንድ የብዙ የነገሮች ያለው ስብስቦች ግምት, እና ስብስቦች አንድ የብዙ ነበር - .. ስብስቦች. መቼም አንድ ብዙ እናንተ በራሱ እንደ አባል አለን ያስችልዎታል, ዓይነት ያስደስተኝ ነበር. ስለዚህ የራሱ አባላት አለመሆናቸውን ሁሉም ስብስቦች ምንም ስብስብ ምክንያቱም, እንደ አባል ነው ራሱ ጥሰት አይነት አለመሆኑን በተመለከተ ጥያቄዎች ማንኛውም ስብስብ ያህል ነው. እንደገና, እዚህ ጉዳይ አይነቶች ወደ ክፍል ውስጥ የፍልስፍና መሠረት ለማብራራት ወደ ሥራዎቹም ስብስቦችን ለማስረዳት ነው.

የተሸከረከረ

በ 1937, V. V. Kuayn ዓይነቶች ጽንሰ ሐሳብ ጋር ተመሳሳይ መንገድ, አማራጭ መፍትሔ አቀረበ አድርጓል. ስለ መሠረታዊ መረጃዎች ናቸው.

አባል ስብስቦች እና ሌሎችም. አንድ የብዙ የማግኘት ማሰብ ከእውነታው ሁልጊዜ ትክክል ወይም ትርጉም ነው ስለዚህ የተሰራ መለየት. ያላቸውን ሁኔታዎች ተዘግቦ ጊዜ ብቻ ሊቀርብ የሚችለው ትኩረትን ጥሰት አይነት አይደሉም. በመሆኑም Quine ያህል አገላለጽ "x x አባል አይደለም" ይህ ሁኔታ አርኪ ሁሉንም ነገሮች x ስብስብ መኖሩ ማለት አይደለም ያለውን ትርጉም ያለው መግለጫ ነው.

ይህ ወጋቸውና ብቻ ከሆነ እና, የቲ. ሠ ተለዋዋጮች እንዲህ ነው ተለዋዋጭ ባለፈው አንድ የብዙ ለእያንዳንዱ ባሕርይ ክስተት ኃላፊነት ዩኒት ተለዋዋጭ ያነሱ የተመደበ መሆኑን አዎንታዊ ቢወክል ተመድበዋል ከሆነ ከሆነ በዚህ ሥርዓት ውስጥ ስብስብ, አንዳንድ ክፍት ቀመር የለም ከእርሱ በኋላ የሚከተለውን. ወደ ቀመር ችግሩ ስብስብ ለመወሰን ጥቅም ጀምሮ ይሄ ራስል ፓራዶክስ, ፊት እና ተለዋዋጭ የአባልነት ምልክት unstratified በማድረግ በኋላ ተመሳሳይ ነው.

ነገር ግን Quine ወጥነት "የሒሳብ አመክንዮ አዲስ መሠረቱን" ተብለው ይህም ምክንያት ሥርዓት, እንዳልሆነ ለመወሰን ገና አለው.

አለመቀበል

Fraenkel (ZF) - በአጠቃላይ በተለየ አቀራረብ Zermelo ንድፈ ሐሳብ ውስጥ ይወሰዳል. እዚህ ላይ ደግሞ, ስብስቦች ሕልውና ላይ ወስን. ይልቅ, መጀመሪያ ላይ ሁሉም ጽንሰ, ንብረቶች, ወይም ሁኔታዎች ይህን ንብረት ጋር ሁሉ ነገሮች ስብስብ መኖሩን ሊጠቁሙ ይችላሉ ወይም ZF-ንድፈ ውስጥ, እንዲህ ያለ ሁኔታ ለማሟላት እንደሆነ አሰብኩ ማን ራስል እና Frege, ያለውን "ከላይ ወደታች" መቅረብ, ሁሉም ነገር ይጀምራል "ከታች ጀምሮ."

እና ባዶ ስብስብ ግለሰብ ክፍሎች ስብስብ ይፈጥራሉ. ስለዚህ ቀደም ስርዓቶች እና ራስል Frege የአካል ብቃትን በተለየ ሁሉ ንጥረ ነገሮች እና እንኳ ሁሉ ስብስቦች ጨምሮ ሁለንተናዊ ስብስብ አካል አይደለም. ZF ስብስቦች ሕልውና ላይ ጥብቅ ገደብ ያስቀምጣል. ሰዎች ስለ ይህም በግልጽ ተናግረዋል ነው ወይም ደጋጋሚነት ሂደቶች እና የመሳሰሉትን አማካኝነት በመንደፍ ይችላል ይህም ብቻ ነው ሊኖር ይችላል. መ

በምትኩ ጽንሰ የአብስትራክት የዋህነት ነው ስብስብ ከዚያም, ይህም ሊታሰቡባቸው, መለያየት ወይም "መደርደር" የሚውለው መለያየት መርህ ውስጥ ሁኔታዎች የሚያሟላ ከሆነ ብቻ ከሆነ አንድ የተወሰነ ንጥረ ስብስብ ውስጥ የተካተተ እንደሆነ ይናገራል ይህም. ይልቅ እያንዳንዱ ነባር ስብስብ ያህል, አንድ ሁኔታ ለማርካት ለየት ያለ ነው ይህም ሁሉንም ነገሮች ስብስብ መኖሩ ከማሰብ Aussonderung ሁኔታ የሚያሟላ ሲሆን የመጀመሪያው ስብስብ ውስጥ ሁሉንም ነገሮች አንድ ስብስብ መኖሩ ይጠቁማል.

ከዚያም የአብስትራክት መርህ ይመጣል: ወደ ስብስብ አንድ የሆነ ሁሉ ለ X, ታዲያ, ካለ, x ብቻ ከሆነ x የሚያጠግብ ይህ አካሄድ ያለውን አያዎ ራስል ይጠፋል ሁኔታ ሲ, ጀምሮ እኛ በቀላሉ መገመት አንችልም ከሆነ ሁኔታ የሚያሟላ ይህም ታህታይ ኤ, ንብረት ይህ, ራሳቸውን አባላት ያልሆኑ ሁሉ ስብስቦች ስብስብ ነው.

ስብስቦችን ብዙ መኖሩ, እርስዎ መምረጥ ወይም በራሳቸው ውስጥ የሆኑ ስብስቦች, እንዲሁም እንደ ያልሆኑ ሰዎች ይከፍሉታል, ነገር ግን ምንም ሁለንተናዊ ስብስብ የለም በመሆኑ ሁላችንም ስብስቦች ስብስብ አይታሰርም ነው ይችላሉ. ችግሩን ከወሰድን ያለ ራስል ተቃርኖ አረጋግጠዋል አይችልም ያስቀምጣል.

ሌሎች መፍትሔዎች

በተጨማሪም, እንደ "የሂሳብ መርሆች" ሥርዓት መስፋፋት "ሒሳባዊ ሎጂክ" Quine, እንዲሁም ስብስቦች መካከል ንድፈ ሐሳብ ላይ ይበልጥ የቅርብ ጊዜ ክንውኖች አንድ ሹካ-ዓይነት ንድፈ ሐሳብ እንደ ተከታይ ቅጥያዎች ወይም ከእነዚህ መፍትሔዎች መካከል ማሻሻያዎችን, ተደርገዋል, በርኔይስ, Gödel እና ቮን Neumann አደረገው. የ የማይሟሙ ፓራዶክስ በርትራንድ ራስል ወደ ምላሽ የሚገኘው አለመሆኑን የሚለው ጥያቄ አሁንም ክርክር ጉዳይ ነው.