ያልተወሰነ ጥረዛ. ለዘላለም integrals መካከል ስሌት

የሒሳብ ትንታኔ መሠረታዊ ክፍሎች መካከል አንዱ ጥረዛ የተባሉትን ነው. ይህም ያልተወሰነ ጥረዛ ነው - የት የመጀመሪያው ነገሮች, በጣም ሰፊ መስክ ይሸፍናል. የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ ገና ነው ቁልፍ ከፍተኛ የሂሳብ ይገልጻል ይህም ተስፋ እና እድሎች አንድ እየጨመረ ቁጥር ያሳያል እንደ አቀማመጥ ነው ይቆማል.

መልክ

መጀመሪያ በጨረፍታ, ይህ ዘመናዊ, ስለተለያዩ ፈጽሞ ጥረዛ ይመስላል, ነገር ግን በተግባር እርሱ ተመልሶ 1800 ላይ መጣ መሆኑን ስናገኘው ዓክልበ. እኛ በውስጡ መኖሩን ቀደም ማስረጃ ላይ መድረስ ነበር እንደ መነሻ በይፋ ግብፅ እንደሆነ ተደርጎ ነው. ይህም ምክንያት የመረጃ እጥረት, ሁሉ ጊዜ ክስተት ሆኖ በቀላሉ ተደርጓል. እሱም እንደገና እነዚህ ዘመናት ሕዝቦች ሳይንሳዊ እድገት ደረጃ ያረጋግጣል. በመጨረሻም, ሥራ አልተገኙም , ጥንታዊ የግሪክ የሒሳብ በ 4 ኛው ክፍለ ዘመን ከክርስቶስ ልደት በፊት ከ ጓደኝነት. እነዚህ ይህም መካከል ያልተወሰነ ጥረዛ የእምነታቸው አንድ curvilinear ቅርጽ ያለውን መጠን ወይም አካባቢ (ሦስት ገጥ ሁለት-ልኬት አውሮፕላን, በቅደም) ለማግኘት ነበር የት ላይ የሚውለው ዘዴ ይገልጻሉ. ስሌቱ በጣም ኢምንት ክፍሎች ወደ የመጀመሪያውን ምስል ክፍፍል መርህ ላይ የተመሠረተ ነበር; ድምጹን (አካባቢ) አስቀድሞ በእነርሱ ዘንድ የታወቀ ነው የቀረበው. ከጊዜ በኋላ, አድጓል ዘዴ, አርኪሜድስ በፓራቦላና ያለውን አካባቢ ማግኘት ተጠቅመውበታል. በተመሳሳይ ጊዜ ተመሳሳይ ስሌቶች ወደ ግሪክኛ የእምነት ሳይንስ ጀምሮ ሙሉ በሙሉ ገለልተኛ ነበሩ የት በጥንቷ ቻይና ውስጥ እንቅስቃሴዎችን ለማካሄድ.

ልማት

የ ኛ ክፍለ ዘመን ዓክልበ የሚቀጥለው ግኝት የአረብ ምሑር ሥራ ሆኗል "ሠረገላ" ወሰን የግፊት ማን አቡ አሊ አል-Basri, የ አስቀድሞ የታወቀ በእኛ ዘንድ የታወቀ ይህን ለማግኘት የሚያመለክቱ, አራተኛው የመጀመሪያው እስከ መጠን እና ዲግሪ ድምሮች በማስላት ለማግኘት ዓቢይ ቀመር የተወሰደ ነበር ቀጣሪያቸው ዘዴ.
ዛሬ አእምሮ የጥንት ግብፃውያን በእጃቸው ዘንድ በስተቀር ማንኛውም ልዩ መሳሪያዎች ያለ አስደናቂ ቅርሶች የተፈጠሩ አድናቆት ናቸው, ነገር ግን ምንም ያነሰ ጊዜ አንድ ተአምር ኃይል እብድ ሳይንቲስቶች አይደለም ነው? በሕይወታቸው ውስጥ በአሁኑ ጊዜ ጋር ሲነጻጸር ማለት ይቻላል ቀር ይመስላሉ, ነገር ግን ለዘላለም integrals ውሳኔ በየቦታው ቢቻልም እና ተጨማሪ ልማት በተግባር ላይ ይውላል.

የጣሊያን የሒሳብ Cavalieri አነሡ ይህም indivisible ዘዴ አመጡ ጊዜ ቀጣዩ ደረጃ, በ ስድስተኛን መቶ ዘመን የተከናወነው በእያንዳንዱ Ferma. እነዚህ ሁለት ስብዕና ለጊዜው ይታወቃል ይህም ዘመናዊ ጥረዛ የተባሉትን, መሠረት ጥሏል. እነዚህ ቀደም ራስን የያዘ ክፍሎችን ሆኖ ይታይ ነበር ይህም ልዩነት እና ውህደት ያለውን ፅንሰ ታስሮ. በጥቅሉ, በዚያን ጊዜ የሂሳብ ግኝቶች ውስን አጠቃቀም ጋር ለብቻቸው መኖር የተፈረካከሰ ቅንጣቶች ነበር. አንድነት እና በጋራ መሬት ለማግኘት መንገድ ለእርሱ ምስጋና, ወደ ዘመናዊ, በአሁኑ ጊዜ ብቸኛው እውነተኛ ነበር የሂሳብ ትንተና እያደገ እና ለማዳበር አጋጣሚ ነበር.

ከቀን ወደ ቀን ጋር ሁሉንም ነገር እና ዓቢይ ምልክት እንዲሁም ይቀይረዋል. በጥቅሉ, ይህም በራሱ መንገድ, ለምሳሌ, ኒውተን አንድ integrable ተግባር አኖረ, ወይም በቀላሉ አንድ ላይ ማስቀመጥ አንድ ካሬ አዶ, ጥቅም ላይ የነበሩ ሳይንቲስቶች የተሰየመ ነበር. ይህ አለመመጣጠን የሂሳብ ትንታኔ ሳይንቲስት Gotfrid Leybnits ለመላው ጽንሰ አንድ እውቅ ለእኛ የሚያውቋቸውን እንዲህ ያለ ገጸ አስተዋውቋል ጊዜ XVII ክፍለ ዘመን ድረስ የዘለቀ. የተመዘዘ "S" በእርግጥ በዚህ ደብዳቤ ላይ የተመሠረተ ነው , የሮማ ፊደል primitives ድምር ያመለክታል በመሆኑ. አጠራቃሚከ ስም 15 ዓመታት በኋላ, ያኮፕ Bernoulli ምስጋና አገኘሁ.

ወደ መደበኛ ትርጉም

ያልተወሰነ ጥረዛ በጥንቱ ያለውን ትርጉም የሚወሰነው, ስለዚህ በመጀመሪያ ቦታ ላይ ከግምት.

ኢውድድር - ይህ ኋላቀር ይባላል ልምምድ ውስጥ የሚመነጩ ግልብጥ ተግባር ነው. አለበለዚያ: መ ቀር ተግባር - የ የሚመነጩ ቁ <=> V 'v = የሆነውን ተግባር ዲ ነው. ኋላቀር ፍለጋ ወደ ያልተወሰነ ጥረዛ ማስላት ነው, እና ሂደት በራሱ ውህደት ይባላል.

ለምሳሌ:

ወደ ተግባር s (y) = y ^3, እና ኋላቀር S (y) = (y ^4/4).

ተግባሩ ሁሉ primitives ስብስብ - እንደሚከተለው ይህ ያልተወሰነ ጥረዛ ነው, ይህ ይወከላል: ∫v (x) dx.

V (x) እውነታ የሚመሠረተው በማድረግ - ብቻ አንዳንድ ቀር የመጀመሪያ ተግባር ነው, አገላለጽ ይዟል: ∫v (x) dx = V (x) + C, የት ሲ - በቋሚ. በውስጡ የመነጩ ዜሮ ነው ጀምሮ የዘፈቀደ በቋሚ ስር, ማንኛውም በቋሚ ያመለክታል.

ንብረቶች

ያልተወሰነ ጥረዛ ከነበራቸው ንብረቶች በመሠረቱ ትርጉም እና ተዋጽኦዎች ባህሪያት ላይ የተመሠረተ.
ቁልፍ ነጥቦች ልብ በል:

• በጥንቱ የማይነጣጠሉ የመነጩ ራሱ ሲደመር አንድ የዘፈቀደ በቋሚ ሲ <=> ∫V ቀር ነው '(x) dx = V (x) + ሲ;
• አንድ ተግባር ዓቢይ አስመስሎ <=> (∫v (x) dx) 'የመጀመሪያው ተግባር ነው v = (x);
• ቋሚ አጠራቃሚከ ምልክት <=> ∫kv (x) ስር ከ ውጭ ይወሰዳል dx = k∫v (x) K የት dx, - የዘፈቀደ ነው;
• integrals ድምር <=> ∫ (ቁ (y) + W (y)), dy = ∫v (y), dy + ∫w (y), dy ወደ identically እኩል ድምር የተወሰደ ነው, የዋነኛውን.

ባለፉት ሁለት ንብረቶች ያልተወስነ ሊኒያር ነው የሚል መደምደሚያ ላይ ሊሆን ይችላል. ምክንያት ይህን አለን: ∫ (ቮልት (y), dy + ∫ lw (y)), dy = k∫v (y), dy + l∫w (y), dy.

መፍትሔ ለዘላለም integrals መጠገን ምሳሌዎችን ይመልከቱ.

የ ዓቢይ ∫ (3sinx + 4cosx) dx ማግኘት አለበት:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + ሐ

ምሳሌ ጀምሮ እኛ ለዘላለም integrals መፍታት እንደሚቻል አያውቁም ብለን መደምደም እንችላለን? ብቻ ሁሉ primitives ማግኘት! ነገር ግን መመሪያዎች ለማግኘት ፍለጋ ከዚህ በታች ተብራርቷል.

ዘዴዎች እና ምሳሌዎች

አጠራቃሚከ ለመፍታት እንዲቻል, የሚከተሉትን ዘዴዎች መፈጸም ይችላሉ:

• በሰንጠረዡ ለመጠቀም ዝግጁ;
• ክፍሎች በ በማቀናጀት;
• ወደ ተለዋዋጭ በመተካት የተጣመረ;
• የ ልዩነት ምልክት በታች እስከ መጠቅለል.

ሰንጠረዦች

በጣም ቀላል እና አስደሳች መንገድ ነው. በአሁኑ ጊዜ, ሒሳባዊ ትንተና ለዘላለም integrals መሠረታዊ ቀመር ውጭ መፃፋቸውን ይህም በጣም ሰፊ ሠንጠረዦች, እንዳይመካ. በሌላ አነጋገር, ወደ የመጣ አብነቶች አሉ አንተ ብቻ መጠቀሚያ ሊወስድ ይችላል. እዚህ በተግባር በሁሉም ለምሳሌ ሊታይ የሚችል ዋና ሰንጠረዥ አቀማመጥ, ዝርዝር ነው መፍትሔ አለው:

• ∫0dy = ሲ, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫dy = y + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫y ^n, dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, የት ሲ - የማያቋርጥ, እና n - አንድነት የተለየ ቁጥር;
• ∫ (1 / y), dy = ln | y | + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ^{∫e የ y, dy = ሠ y + C} , የት ሲ - በቋሚ;
• ^{∫k የ y, dy = (ተ y /} ln k) + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫cosydy = siny + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫sinydy = -cosy + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫dy / ኃጢአት ² y = -ctgy + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫chydy = ዓይናፋር + C, የት ሲ - በቋሚ;
• ∫shydy = chy + C, የት ሲ - በቋሚ.

አስፈላጊ ከሆነ, አንድ ሠንጠረዣዊ እይታ ደረጃዎች አንድ ሁለት integrand መምራት ለማድረግ እና ድል ያገኛሉ. ምሳሌ: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) መ (5x - 2) = 1/5 x ኃጢአት (5x - 2) + ሲ

ውሳኔ መሠረት ለምሳሌ አንድ ጠረጴዛ integrand እኛ መለወጥ አይደለም አጠቃላይ አገላለጽ ወደ 1/5 ይህን በማባዛት ጋር በትይዩ ውስጥ ለማከል ማባዣ 5. ከሌለው እንደሆነ ግልጽ ነው.

ክፍሎች በ የውህደት

z (y) እና x (y) - ሁለት ተግባራት እንመልከት. እነርሱ በውስጡ ጎራ ላይ በቀጣይነት differentiable መሆን አለበት. በአንድ ልዩነት ንብረቶች ውስጥ አለን: መ (xz) = xdz + zdx. ሁለቱም ጎኖች ማቀናጀት, እኛ ያገኛሉ: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = zx: ወደ ምክንያት ቀመር ጋር ሊያመሳስሉት, እኛ ክፍሎች በ ውህደት ስልት ይገልጸዋል ያለውን ቀመር, ያገኛሉ.

አስፈላጊ የሆነው ለምንድን ነው? የኋለኛው ወደ ሠንጠረዣዊ ቅጽ ቅርብ ከሆነ ለማቃለል ይቻላል ምሳሌዎች መካከል አንዳንዶቹ, ዎቹ ይበል እውነታ, ∫zdx ∫xdz ለመቀነስ. በተጨማሪም, ይህ ቀመር ለተመቻቸ ውጤቶችን, ከአንድ ጊዜ በላይ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል.

እንዴት ለዘላለም integrals በዚህ መንገድ ለመፍታት:

• ∫ (ዎች + 1) ሠ ^2S ዳውን ማስላት አስፈላጊ

∫ (x + ^{1) {z = = ሠ 2S ዳውን} s + , y 1 ^{/ 2e 2S, dy = ሠ 2x} = 1, dz = DS = ((ዎች + ዳውን} 1) ሠ ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2S dx = ((ዎች + 1) ሠ ^2S) / 2-ሠ ^2S / 4 + C;

• ∫lnsds ማስላት አለበት

∫lnsds = {z = LNS, dz = ዳውን / ዎች, y = ዎች, dy = ዳውን} = slns - ∫s x ዳውን / ዎች = slns - ∫ds = slns -s + C = ዎች (LNS-1) + ሐ

ወደ ተለዋዋጭ በመተካት

ለዘላለም integrals መፍታት ይህ መርህ ውስብስብ ቢሆንም, ካለፈው ሁለት ከ ተፈላጊነት ሳይሆን ያነሱ ናቸው. እንደሚከተለው ያለው ዘዴ ነው; ይሁን V (x) - አንዳንድ ተግባር v (x) አጠራቃሚከ. በራሱ ምሳሌ slozhnosochinenny ውስጥ ዓይነተኛ የሚመጣ ክስተት ውስጥ, ግራ ለማግኘት እና በተሳሳተ መንገድ መፍትሔ ወደታች መሄድ አይቀርም. x ላይ በመመስረት የ z ጠብቆ ሳለ አጠቃላይ መግለጫ በምስል ቀለል ውስጥ z ወደ ተለዋዋጭ x ይህን ልማድ ለውጥ, ማስወገድ.

እንደሚከተለው የሂሳብ ቃላት ውስጥ ይህ ነው: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), የት x = y ( z) - መተካት. እና, እርግጥ ነው, የተገላቢጦሽ ተግባር z = y ^-1 (x) ሙሉ በሙሉ ግንኙነት እና ተለዋዋጮች መካከል ያለውን ግንኙነት ይገልጻል. ጠቃሚ ማስታወሻ - የግድ አዲስ ልዩነት dz ጋር ተተክቷል ያለውን ልዩነት dx, ያልተወስነ ውስጥ ተለዋዋጭ ለውጥ ጀምሮ ብቻ ሳይሆን integrand ውስጥ, በየትኛውም ቦታ መተካት ይጨምራል.

ለምሳሌ:

• ዳውን - ∫ (ዎች + 1) / (5 ዎች ² + 2S) ማግኘት አለበት

የ መተካት z = (ዎች + 1) ተግብር / (ዎች ² + 2S-5). ከዚያም dz = 2sds = 2 + 2 (ዎች + 1) ዳውን <=> (ዎች + 1) ዳውን = dz / 2. በዚህም ምክንያት, በጣም ቀላል ነው ይህም የሚከተለው አገላለጽ, ማስላት:

∫ (ዎች + 1) / (ዎች ² + 2S-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | ዎች ^2; + 2S-5 | + C;

• አንተ ጥረዛ ∫2 ^ዎች ኢ ^ዎች dx, ማግኘት አለበት

የሚከተለውን ቅጽ ላይ ያለውን ር እንደገና ለመፍታት:

^{∫2 ዎች የኢ ዎች ዳውን = ∫ (} 2e) ዎች ዳውን.

እኛ, እኛ መስጠት (, አሁንም s ነው ይህን እርምጃ አይደለም ነው መከራከሪያ ምትክ) አንድ = 2e በ ያመለክታል ያለንን መሠረታዊ ሠንጠረዣዊ ቅጽ ጥረዛ የሚመስሉ ውስብስብ:

^{∫ (2e) ዎች ዳውን = ∫a} ዎች ዳውን = አንድ ዎች / lna + C = (2e) ዎች / ln (2e) + C = 2 ^ዎች የኢ ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^ዎች የኢ ^s / (ln2 + 1) + ሲ

ዲፈረንሺያል ምልክት ሜዲና

በጥቅሉ, ይህ ለዘላለም integrals መካከል ዘዴ - ተለዋዋጭ ለውጥ መርህ መንታ ወንድም, ነገር ግን የምዝገባ ሂደት ላይ ልዩነቶች አሉ. እኛን ይበልጥ በዝርዝር እንመልከት.

ከሆነ ∫v (x) dx = V (x) + C እና y = z (x), ከዚያም ∫v (y), dy = V (y) + ሲ

በተመሳሳይ ጊዜ እኛ ተራ ጥረዛ ለውጥ በማድረግ, ይህም መካከል መርሳት የለብንም;

• dx = d (x + ሀ), የቆማችሁበትን - እያንዳንዱ በቋሚ;
• dx = (1 / ሀ) መ (መጥረቢያ + ለ), ቦታ - በቋሚ እንደገና, ነገር ግን ዜሮ;
• xdx = 1/2 ል (x ^2; + ለ);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = መ (sinx).

እኛ ደግሞ ያልተወሰነ ጥረዛ ለማስላት የት አጠቃላይ ሁኔታ ግምት ውስጥ ከሆነ, ምሳሌዎችን '(x) dx = DW (x) ወ አጠቃላይ ቀመር ስር ያልተፈረጁ ይቻላል.

ምሳሌዎች:

• ማግኘት አለበት ∫ (2S + 3) ² ዳውን ሲንድሮም ዳውን = 1/2 ል (2S + 3)

∫ (2S + 3) = 1 / 2∫ (2S + 3) ² መ ² ዳውን (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2S + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + ሲ

የመስመር ላይ እገዛ

በአንዳንድ ሁኔታዎች, ይህም ያለውን ጥፋት ሊሆን ይችላል ወይም ስንፍና ወይም አስቸኳይ አያስፈልግም, አንድ ማስያ ለዘላለም integrals ለመጠቀም, ይልቁንም መስመር ጥያቄዎቹን መጠቀም, ወይም ይችላሉ. የ በግልጽ ውስብስብነት እና integrals መካከል አወዛጋቢ ተፈጥሮ ቢሆንም, ውሳኔ "አንተ አይደለም ... ከዚያ ማድረግ ከሆነ ..." መርህ ላይ የተመሰረተ ነው ያላቸውን የተወሰኑ ስልተ, ተገዢ ነው.

ውሳኔ አንድ ሰራሽ ሂደት ውስጥ አንዳንድ ንጥረ ነገሮች በማስተዋወቅ "የግዳጅ" ለማግኘት ያለው የትኛው ውስጥ አጋጣሚዎች አሉ እንደ ውጤት ለመድረስ ግልጽ መንገዶች ስለሆኑ እርግጥ ነው, እንዲህ ያለ ማስያ የሆነ በተለይ ውስብስብ ምሳሌዎች, መምህር አይደለም. በዚህ መግለጫ ላይ አወዛጋቢ ባህሪ ቢሆንም, ይህ በሒሳብ እንደ መርህ ውስጥ, አንድ ረቂቅ ሳይንስ, እና ዋነኛ ዓላማ ድንበር ለማስታጠቅ አስፈላጊነት ያብራራል, እውነት ነው. በእርግጥም, አንድ ለስላሳ አሂድ-ውስጥ ንድፈ ወደላይ እና በዝግመተ, ስለዚህ ለእኛ ሰጥቷል ይህም ለዘላለም integrals ለመፍታት ያለውን ምሳሌዎች እንደሆነ መገመት እንጂ በጣም አስቸጋሪ ነው - ይህ እድል ቁመት ነው. ነገር ግን ኋላ ነገሮች የቴክኒክ በኩል. ወደ ስሌቶች ለማረጋገጥ ቢያንስ, አንተ ለእኛ የተጻፈበትን አገልግሎቱን መጠቀም ይችላሉ. ውስብስብ መግለጫዎች ሰር ስሌት የሚሆን አስፈላጊ ከሆነ, ከዚያም እነርሱ ይበልጥ ከባድ ሶፍትዌር መፈጸም የለብዎትም. በዋነኝነት በአካባቢ MatLab ላይ ትኩረት መስጠት ይኖርባቸዋል.

ትግበራ

ይህም አውሮፕላኑ ያለውን ግልጽ አጠቃቀም ማየት አስቸጋሪ ነው; ምክንያቱም መጀመሪያ በጨረፍታ ለዘላለም integrals ያለው ውሳኔ, እውነታው ጀምሮ ሙሉ በሙሉ የተላቀቁ ይመስላል. በእርግጥም, በቀጥታ አይችሉም በየትኛውም ቦታ ለመጠቀም, ነገር ግን እነሱ በተግባር ጥቅም መፍትሔዎች መካከል የመውጣት ሂደት ውስጥ አስፈላጊ በመካከለኛ አባል ናቸው. በመሆኑም, ኋላ ልዩነት መካከል ያለውን ውህደት, በዚህም በንቃት equations ለመፍታት ሂደት ውስጥ የሚሳተፉ.
በአጭር ውስጥ, አሁን እና ወደፊት በመቅረጽ የሚመሰርት ነገር - በተራቸው, እነዚህ ስሌቶች ሜካኒካዊ ችግር, ከካሮቦን ስሌት እና የፍል conductivity ውሳኔ ላይ ቀጥተኛ ተፅዕኖ አላቸው. እኛ መሰረት እንደ ከላይ መጀመሪያ በጨረፍታ ብቻ እንደ ቀላል ተደርገው ሊሆን ይህም, ዓቢይ ለዘላለም ምሳሌዎች ተጨማሪ እና ተጨማሪ አዳዲስ ግኝቶች ለማከናወን.